牟合方盖-看最鲜

牟合方盖

这是我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法，类似于现在的微元法。由于其采用的模型像一个牟合的方形盒子，故称为牟合方盖。

基本理论

其实刘徽是希望构作一个立体图形，它的每一个横切面皆是正方形，而且会外接于球体在同一高度的横切面的圆形，而这个图形就是“牟合方盖”，因为刘徽只知道一个圆及它的外接正方形的面积比为π：4，他希望可以用“牟合方盖”来证实《九章算术》的公式有错误。当然他也希望由这方面入手求球体体积的正确公式，因为他知道“牟合方盖”的体积跟内接球体体积的比为4：π，只要有方法找出“牟合方盖”的体积便可，可惜，刘徽始终不能解决，他只可以指出解决方法是计算出“外棋”的体积，但由于“外棋”的形状复杂，所以没有成功，无奈地只好留待有能之士图谋解决的方法：

“观立方之内，合盖之外，虽衰杀有渐，而多少不掩。判合总结，方圆相缠，浓纤诡互，不可等正。欲陋形措意，惧失正理。敢不阙疑，以俟能言者。”

但是在刘徽后二百多年贤能之士才出现，这就是中国伟大数学家冲之和他的儿子祖，他们继承了刘徽的想法，还利用了“牟合方盖”彻底地解决了球体体积公式的问题。

重要发现

主要是使用的三个“外棋”的计算方法。他们先考虑一个由八个边长为r的正立方体组成的大正立方体，然后用制作“牟合方盖”的方法把这大正立方体分割，再取其中一个小正立方体部分作分析，分割的结果将跟右图所示的相同，白色部分称为“小牟合方盖”，它的体积为“牟合方盖”的八分之一，而紫红、黄和青色的部分便是三个“外棋”。

祖冲之父子考虑这个小立方体的横切面。设由小立方体的底至横切面高度为h，三个“外?”的横切面面积的总和为S及小牟合方盖的横切面边长为a，因此根据“勾股定理”有：

a²=r²-h²

另外，因为

S=r²-a²

所以

S=r²-(r²-h²)=h²

于所有的h来说，这个结果也是不变的。祖氏父子便由此出发，他们取一个底方每边之长和高都等于r的方锥，倒过来立着，与三个“外棋”的体积的和进行比较。设由方锥顶点至方锥截面的高度为h，不难发现对于任何的h，方锥截面面积也必为h²。换句话说，虽然方锥跟三个“外棋”的形状不同，但因它们的体积都可以用截面面积和高度来计算，而在等高处的截面面积总是相等的，所以它们的体积也就不能不是相等的了，所以祖氏云：

“缘幂势既同，则积不容异。”