罗素悖论

罗素悖论的含义

罗素悖论就是罗素提出的一个集合的悖论，主要讲的是，对于任意一个集合A，A要么是自身的元素，即A∉A;A要么不是自身的元素，即AA。这个悖论在表面上看没什么大不了的，但是实际上影响颇大，甚至造成了数学史上的三次危机中的一次。

罗素悖论的始末

在20世纪初期，数学界似乎笼罩在一片喜悦当中，因为大家认为数学已经比较稳定，不管是严密性还是系统性都已经达到了，甚至基本没有什么进步的空间了，后辈们只能做一些修补的工作罢了，但是没过多久，罗素悖论的提出带来了一场比较大的危机。

当时罗素悖论提出之后，很多数学家都提出了自己的解决方案，甚至希望将结合的定义进行重新限定，但是这需要新的法则来完成。

后来1908年策梅罗在原则基础上提出了比较公理化集合论体系，并且更好的弥补了集合论的缺陷，这个公理系统在通过弗兰克尔的改进后被称之为ZF公理系统。这在一定程度上对集合论的缺陷进行了弥补。

实际上除了除ZF系统外还有很多其他的集合论的公理系统，比如冯·诺伊曼等人提出的NBG系统等等，这都通过不同的补充让罗素悖论最终得以合理的运行。

理发师悖论

理发师悖论和罗素悖论实际上有着比较密切的联系，主要的内容是，一个理发师声称自己为本城所有不给自己刮胡子的人刮胡子，只给这些人刮胡子。但是当他发现自己的胡子长长了，他应该给自己刮胡子吗，假如他不给自己刮的话，他就是“不给自己刮胡子的人”，但是假如他给自己刮，又属于“给自己刮胡子的人”不应该自己刮…

关于罗素悖论

　　罗素悖论：设性质P(x)表示“x不属于x”，现假设由百性质P确定了一个类A——也就是说“A={x|x∉x}”。那么问题是：A属于A是否成立?首先，若A属于A，则A是A的元素，那度么A具有性质P，由性质P知A不属于内A;其次，若A不属于 A，也就是说A具有性质P，而A是由所有具有性质P的类组成的，所以A属于A。